Eenvoudige getallen in prehistorische tijden: hoe een 20.000 jaar geleden gesneden bot een discussie ontketende over het ontstaan van de wiskunde

Een klein stukje bot, gevonden in Centraal-Afrika, met kolommen van inscripties die verbazingwekkende cijfers vormen, heeft archeologen en wiskundigen verdeeld: zijn het jachtverslagen, een maankalender of het oudste bewijs van abstract denken? De discussie over het Ishango-bot duurt al 75 jaar.

In het Museum voor Natuurwetenschappen in Brussel, in een bescheiden vitrine, wordt een klein botje van slechts tien centimeter lang bewaard dat tot heftige discussies heeft geleid onder archeologen, wiskundigen en historici. Het is het bot van Ishango, dat in de jaren 1950 in het huidige Congo werd gevonden en ongeveer 20.000 jaar oud is. Op het eerste gezicht is het een bescheiden voorwerp, slechts een fragment van een baboonscheenbeen met enkele inkepingen. Maar al meer dan een halve eeuw wordt er gediscussieerd of dit het eerste bewijs is van wiskundig denken bij de mens.

Deze fascinatie is niet ongegrond. Wie even stilstaat om ernaar te kijken, ontdekt dat de inkepingen niet willekeurig lijken: ze zijn gegroepeerd in kolommen, lijken geordend en suggereren dat er een logica zit in het uitsnijden ervan. Maar wat betekenen ze? Zijn het cijfers? Kalenders? Gewoon versieringen? Het antwoord is verre van eenduidig, en de discussie over Ishango is een prachtig voorbeeld van hoe archeologie en verbeelding elkaar soms kruisen.

De vondst en de context

Het bot werd ontdekt door de Belgische geoloog Jean de Hainzelin de Braucor aan de oever van het Eduardo-meer, op de huidige grens tussen Oeganda en de Democratische Republiek Congo, tijdens opgravingen in de jaren 1950. De vindplaats was bedekt met lagen vulkanische as die waren ontstaan door een uitbarsting kort nadat mensen zich in dit gebied hadden gevestigd, waardoor het materiaal bewaard is gebleven en gedateerd kon worden.

Het voorwerp zelf is een fragment van een wreefbeen, mogelijk van een baviaan, met een lengte van ongeveer 10 centimeter. In een van de uiteinden is een scherp stuk kwarts gestoken, wat doet vermoeden dat het bot als alledaags gebruiksvoorwerp heeft gediend. Het meest opvallende is echter niet de punt, maar de 168 inkepingen in het oppervlak. Deze inkepingen zijn niet willekeurig verspreid, maar verdeeld over drie parallelle rijen die van boven naar beneden over het bot lopen.

Aanvankelijk werd aangenomen dat de botten ongeveer 8000 jaar oud waren, maar verder onderzoek van de archeologische context en dateringsmethoden hebben de leeftijd op 20.000 jaar geschat. Dit plaatst het in het late paleolithicum, een tijdperk van grote culturele veranderingen, toen de eerste uitingen van rotskunst, symbolische voorwerpen en een toenemende complexiteit van het sociale leven verschenen.

Eerste interpretatie: getallen en regelmaat

Heinzlin zelf opende de weg naar wiskundige interpretaties. Toen hij de drie rijen inkepingen bekeek, veronderstelde hij dat deze niet het resultaat konden zijn van toeval. Hij wees er bijvoorbeeld op dat in de linkerrij een reeks van 11, 13, 17 en 19 inkepingen voorkomt, die allemaal priemgetallen tussen 10 en 20 zijn. De overeenkomst was te opvallend om toeval te zijn en in 1962 publiceerde hij zijn hypothesen in het tijdschrift Scientific American.

Naast de vermeende priemgetallen ontdekte Heinzelin ook dubbele aantallen: groepen die verdubbelde waarden leken te zijn van andere getallen in de middelste kolom. Deze patronen brachten hem tot de veronderstelling dat het bot als een primitief rekeninstrument had kunnen dienen, mogelijk een soort vermenigvuldigingstabel of een systeem voor tellen en delen.

Zijn veronderstelling sprak tot de verbeelding van velen. Als ze juist zou blijken te zijn, zou Ishango niet alleen de eerste wiskundige notatie zijn, maar ook het bewijs dat mensen in het paleolithicum al begrippen van numerieke abstractie hadden.

De hypothese van basis 12

Tientallen jaren later kwamen onderzoekers zoals Vladimir Plezer en Dirk Huele terug op de ideeën van Heinzelin en breidden ze uit. Na een gedetailleerde analyse van de som van de inkepingen in elke kolom kwamen ze tot de conclusie dat het bot een getallensysteem op basis van 12 met subbasissen 3 en 4 weergeeft.

In hun reconstructie waren de groepen inkepingen niet willekeurig, maar weerspiegelden ze eenvoudige rekenkundige bewerkingen, zoals verdubbelen en groeperen, die tot veelvouden van 12 leidden. Zo was de som van een van de kolommen 60, een veelvoud van 12, en die van een andere 48, ook deelbaar door 12. Volgens hen kon dit geen toeval zijn.

Volgens hun veronderstelling diende het bot als referentie-instrument voor het tellen volgens een systeem dat gebaseerd was op het getal 12, dat overigens in verschillende historische culturen werd gebruikt vanwege de vele delers (2, 3, 4 en 6). Pletzer en Hühlbrock suggereerden zelfs dat Ishango kan worden beschouwd als een prehistorisch rekeninstrument dat een groep jagers-verzamelaars hielp bij het verwerken van hoeveelheden die hun directe waarneming te boven gingen.

Hoewel deze ideeën speculatief zijn, hebben ze een grote invloed gehad op de popularisering, waarbij de Ishango-bot vaak wordt voorgesteld als ‘de eerste rekenmachine van de mensheid’.

Kalenders en maancycli

Een andere interpretatie werd voorgesteld door onderzoeker Alexander Marshak, bekend om zijn werk over de oorsprong van het symbolisch denken. In 1972, na de bot onder een microscoop te hebben bestudeerd, stelde hij dat de markeringen een maankalender vertegenwoordigden.

Zijn argument was dat de som van de twee kolommen (60 inkepingen) overeenkwam met twee maancycli, en de derde (48 markeringen) ongeveer anderhalve maand. Het bot diende dus om de fasen van de maan bij te houden. Antropologe Claudia Zaslavsky voegde hieraan toe dat het mogelijk door vrouwen werd gebruikt om hun menstruatiecyclus af te stemmen op de maancyclus.

Hoewel deze theorie intrigerend lijkt, is er kritiek op gekomen. Veel deskundigen wijzen erop dat de cijfers niet exact overeenkomen en dat het riskant is om een kalender te reconstrueren op basis van eenvoudige inkepingen. De hypothese van Marshak benadrukte echter dat Ishango niet alleen een instrument was, maar ook een symbolisch en cultureel artefact.

Sceptische blik: Keller en ‘wiskundige fantasie’

Niet iedereen deelt het enthousiasme over de wiskunde in Ishango. De Zwitserse wiskundige Olivier Keller waarschuwt in zijn essay “De verhalen van Ishango, of de onweerstaanbare verleiding van wiskundige fantasie” dat het grootste deel van wat er over het bot wordt gezegd, in feite hedendaagse projecties kunnen zijn.

Keller herinnert eraan dat inscripties op botten, stenen of hout in de prehistorie wijdverbreid waren en niet altijd getallen betekenden. Het konden aantekeningen over de jacht zijn, rituele symbolen, persoonlijke tekens of zelfs gewoon versieringen. Volgens hem ontstaan hypothesen over eenvoudige getallen of een getallenstelsel op basis van 12 omdat onderzoekers op zoek zijn naar patronen en die kiezen die passen, terwijl ze andere negeren.

In zijn kritiek op Pletser en Hülebruck wijst hij erop dat het soms nodig is om inkepingen toe te voegen of te verwijderen om de sommen in overeenstemming te brengen met het 12-talstelsel, wat het argument verzwakt. Bovendien benadrukt hij dat begrippen als eenvoudige getallen veel later zijn ontstaan en moeilijk kunnen worden toegeschreven aan paleolithische samenlevingen.

Om zijn standpunt te versterken, haalt Keller etnografische voorbeelden aan. In verschillende Afrikaanse en Australische culturen werden stokken met markeringen gebruikt, maar niet altijd als getallen: soms waren het berichten, verslagen van gebeurtenissen of gewoon rituele markeringen. Het aanwezigheid van inkepingen op een voorwerp betekent dus niet noodzakelijkerwijs dat er sprake is van wiskunde.

Keller erkent echter één belangrijk punt: Ishango laat zien dat 20.000 jaar geleden al het begrip veelvoud en één-op-één-overeenkomst bestond. Hoewel we niet kunnen spreken van formele wiskunde, kunnen we wel zeggen dat dit de kiem vormt van abstract denken, dat veel later zou leiden tot de rekenkunde.

Andere botten met inkepingen

Het Ishango-bot is niet het enige bewijs van prehistorische inkepingen. Het oudste bekende bot is het Lebombo-bot, gevonden op de grens van Zuid-Afrika en het Koninkrijk Eswatini, met 29 inkepingen en een leeftijd van ongeveer 43.000 jaar. Er is ook een wolfbot uit Dolní Věstonice (Tsjechië), dat ongeveer 26.000 jaar oud is. Op andere locaties, zoals de Blombos-grot in Zuid-Afrika, zijn voorwerpen gevonden die 70.000 jaar oud zijn en voorzien zijn van patronen.

Wat Ishanego van alle andere vindplaatsen onderscheidt, is de schijnbare regelmaat van de markeringen en hun plaatsing in rijen. Op andere botten zijn verspreide inkepingen of inkepingen zonder duidelijk patroon te zien, terwijl in Ishango hun plaatsing wijst op een bepaald ontwerp. Daarom blijft dit, hoewel het niet het oudste exemplaar is, vanuit wiskundig oogpunt het meest besproken.